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優(yōu)缺點和適用場景

優(yōu)點：

適用于具有平穩(wěn)性的數(shù)據(jù)。
簡單易懂，模型可解釋性強。

缺點：

僅適用于線性數(shù)據(jù)，無法處理非線性數(shù)據(jù)。
對于長記憶序列的處理效果差。

適用場景：適合平穩(wěn)的時間序列，如金融數(shù)據(jù)、溫度變化等。

代表案例

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import pandas as pd



# 設(shè)置種子以確?？芍貜?fù)性

np.random.seed(42)



# 模擬數(shù)據(jù) AR(2) 模型

n = 1000

y = np.zeros(n)

epsilon = np.random.normal(0, 1, n)

phi = [0.5, -0.3]



# 生成時間序列

for t in range(2, n):

    y[t] = phi[0] * y[t-1] + phi[1] * y[t-2] + epsilon[t]



# 創(chuàng)建一個數(shù)據(jù)框架

df = pd.DataFrame({'Time': np.arange(n), 'Value': y})



# 繪制圖像：時間序列圖和自相關(guān)圖

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6), dpi=120)



# 時間序列圖

ax[0].plot(df['Time'], df['Value'], color='blue')

ax[0].set_title('AR(2) Time Series')

ax[0].set_xlabel('Time')

ax[0].set_ylabel('Value')



# 自相關(guān)圖

pd.plotting.autocorrelation_plot(df['Value'], ax=ax[1])

ax[1].set_title('Autocorrelation of AR(2) Series')



plt.tight_layout()

plt.show()

時間序列圖：展示時間序列的變化趨勢，確認數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性。

自相關(guān)圖 (ACF 圖)：自相關(guān)圖展示了不同滯后時間下序列與其自身的相關(guān)性。我們使用自相關(guān)圖來驗證 AR 模型的合理性，若自相關(guān)性在某些滯后期顯著，則表明該模型是合理的。

時間序列圖：顯示生成的 AR(2) 模型的隨機時間序列，展示了數(shù)據(jù)隨時間的波動。
自相關(guān)圖：用于驗證自回歸模型的滯后效應(yīng)。滯后期1和2處的顯著自相關(guān)性驗證了 AR(2) 模型的合理性。

2. 移動平均模型

原理介紹

移動平均模型 (MA) 假設(shè)時間序列的當(dāng)前值是過去誤差項的線性組合。與自回歸模型不同，MA 模型強調(diào)的是誤差項的影響，而非時間序列自身的歷史值。

核心公式

移動平均模型的公式為：

優(yōu)缺點和適用場景

優(yōu)點：

適合捕捉隨機波動。
簡單有效，適合數(shù)據(jù)噪聲較大的情況。

缺點：

對長期依賴關(guān)系處理不好。
只能建模短期的依賴關(guān)系。

適用場景：適合隨機波動較強的平穩(wěn)時間序列。

代表案例

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import pandas as pd



# 設(shè)置種子

np.random.seed(42)



# 模擬數(shù)據(jù) MA(1) 模型

n = 100

epsilon = np.random.normal(0, 1, n)

y = np.zeros(n)

theta = 0.6



# 生成時間序列

for t in range(1, n):

    y[t] = epsilon[t] + theta * epsilon[t-1]



# 創(chuàng)建數(shù)據(jù)框架

df = pd.DataFrame({'Time': np.arange(n), 'Value': y})



# 繪制圖像：時間序列圖和部分自相關(guān)圖

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6), dpi=120)



# 時間序列圖

ax[0].plot(df['Time'], df['Value'], color='green')

ax[0].set_title('MA(1) Time Series')

ax[0].set_xlabel('Time')

ax[0].set_ylabel('Value')



# 部分自相關(guān)圖

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf

plot_pacf(df['Value'], ax=ax[1], lags=20)

ax[1].set_title('Partial Autocorrelation of MA(1) Series')



plt.tight_layout()

plt.show()

時間序列圖：展示 MA(1) 模型生成的時間序列，觀察隨機波動的特征。

部分自相關(guān)圖 (PACF 圖)：部分自相關(guān)圖展示了去除自回歸成分后的滯后效應(yīng)。我們使用部分自相關(guān)圖來驗證 MA 模型的合理性，滯后期為 1 的部分自相關(guān)性應(yīng)該顯著。

時間序列圖：顯示 MA(1) 模型生成的時間序列，揭示了模型的隨機波動特性。
部分自相關(guān)圖：用于驗證 MA 模型的滯后效應(yīng)。滯后期 1 處的顯著相關(guān)性驗證了 MA(1) 模型的合理性。

3. 自回歸移動平均模型

原理介紹

ARMA 模型結(jié)合了自回歸 (AR) 和移動平均 (MA) 的思想。它通過同時考慮時間序列的自身歷史值（AR部分）和過去誤差的線性組合（MA部分）來進行預(yù)測。

核心公式

ARMA(p, q) 模型的公式為：

推導(dǎo)：ARMA 模型是 AR 和 MA 模型的組合。AR 部分通過最小化誤差平方和 (OLS) 估計，MA 部分通過最大化誤差項的似然函數(shù) (MLE) 來估計。

優(yōu)缺點和適用場景

優(yōu)點：

結(jié)合了 AR 和 MA 的優(yōu)點，適合復(fù)雜的平穩(wěn)數(shù)據(jù)。
適合有短期記憶和隨機波動的序列。

缺點：

對非平穩(wěn)數(shù)據(jù)無法直接建模。
參數(shù)估計復(fù)雜度較高。

適用場景：適用于平穩(wěn)的時間序列，如經(jīng)濟數(shù)據(jù)、氣象數(shù)據(jù)等。

代表案例

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import pandas as pd



# 設(shè)置種子

np.random.seed(42)



# 模擬數(shù)據(jù) ARMA(2,1) 模型

n = 100

y = np.zeros(n)

epsilon = np.random.normal(0, 1, n)

phi = [0.5, -0.4]

theta = 0.3



# 生成時間序列

for t in range(2, n):

    y[t] = phi[0] * y[t-1] + phi[1] * y[t-2] + epsilon[t] + theta * epsilon[t-1]



# 創(chuàng)建數(shù)據(jù)框架

df = pd.DataFrame({'Time': np.arange(n), 'Value': y})



# 繪制圖像：時間序列圖和ACF圖

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6), dpi=120)



# 時間序列圖

ax[0].plot(df['Time'], df['Value'], color='purple')

ax[0].set_title('ARMA(2,1) Time Series')

ax[0].set_xlabel('Time')

ax[0].set_ylabel('Value')



# 自相關(guān)圖

pd.plotting.autocorrelation_plot(df['Value'], ax=ax[1])

ax[1].set_title('Autocorrelation of ARMA(2,1) Series')



plt.tight_layout()

plt.show()

時間序列圖：觀察 ARMA(2, 1) 模型生成的時間序列，顯示其隨機波動和趨勢變化。

自相關(guān)圖 (ACF 圖)：通過自相關(guān)圖來驗證 ARMA 模型中的滯后效應(yīng)。如果滯后期的自相關(guān)性顯著，則可以說明模型的合理性。

時間序列圖：展示了 ARMA 模型下時間序列的波動和趨勢，反映了數(shù)據(jù)的復(fù)雜性。
自相關(guān)圖：用于識別時間序列中不同滯后期的相關(guān)性，以驗證 AR 和 MA 部分的合理性。

4. 自回歸積分移動平均模型

原理介紹

ARIMA 模型是 ARMA 模型的擴展，增加了一個差分項，用于處理非平穩(wěn)時間序列。差分的目的是去除時間序列中的趨勢和季節(jié)性波動，使其平穩(wěn)。

核心公式

ARIMA(p, d, q) 模型的公式為：

優(yōu)缺點和適用場景

優(yōu)點：

適用于非平穩(wěn)數(shù)據(jù)，能夠捕捉趨勢和季節(jié)性。
靈活強大，適合各種時間序列預(yù)測任務(wù)。

缺點：

差分操作可能導(dǎo)致信息丟失。
參數(shù)估計復(fù)雜，計算成本較高。

適用場景：適用于非平穩(wěn)數(shù)據(jù)，如股票價格、經(jīng)濟指標等。

代表案例

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import pandas as pd

from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA



# 設(shè)置種子

np.random.seed(42)



# 模擬數(shù)據(jù) ARIMA(1,1,1) 模型

n = 100

y = np.zeros(n)

epsilon = np.random.normal(0, 1, n)

phi = 0.6

theta = 0.4



# 生成時間序列 (一階差分)

for t in range(1, n):

    y[t] = phi * y[t-1] + epsilon[t] + theta * epsilon[t-1]



# 創(chuàng)建數(shù)據(jù)框架

df = pd.DataFrame({'Time': np.arange(n), 'Value': y})



# 繪制圖像：原始序列與差分序列

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6), dpi=120)



# 原始序列

ax[0].plot(df['Time'], df['Value'], color='red')

ax[0].set_title('ARIMA(1,1,1) Time Series')

ax[0].set_xlabel('Time')

ax[0].set_ylabel('Value')



# 一階差分

diff_y = np.diff(df['Value'], n=1)

ax[1].plot(df['Time'][:-1], diff_y, color='blue')

ax[1].set_title('First Difference of ARIMA(1,1,1) Series')

ax[1].set_xlabel('Time')

ax[1].set_ylabel('Differenced Value')



plt.tight_layout()

plt.show()

原始序列圖：展示生成的 ARIMA(1, 1, 1) 模型的時間序列，觀察其非平穩(wěn)特性。

一階差分圖：通過一階差分圖顯示經(jīng)過差分處理后的平穩(wěn)時間序列，以展示差分操作的效果。

原始序列圖：展示 ARIMA 模型中的原始時間序列，反映非平穩(wěn)趨勢。
差分序列圖：展示差分后的時間序列，確認其是否達到平穩(wěn)狀態(tài)。

5. 季節(jié)性自回歸積分移動平均模型 (SARIMA, Seasonal ARIMA)

原理介紹

SARIMA 模型擴展了 ARIMA 模型，增加了季節(jié)性成分，用于處理具有周期性和季節(jié)性變化的時間序列。它結(jié)合了非季節(jié)性成分和季節(jié)性成分。

核心公式

推導(dǎo)：非季節(jié)性成分和季節(jié)性成分分別處理，首先通過差分去除趨勢和季節(jié)性，然后應(yīng)用 ARMA 模型對剩余部分進行建模。

優(yōu)缺點和適用場景

優(yōu)點：

能夠捕捉季節(jié)性變化和趨勢。
靈活處理季節(jié)性數(shù)據(jù)。

缺點：

參數(shù)復(fù)雜，模型擬合過程較慢。
需要手動指定季節(jié)性周期。

適用場景：適用于季節(jié)性數(shù)據(jù)，如氣象數(shù)據(jù)、銷售數(shù)據(jù)等。

代表案例

import numpy as np



import matplotlib.pyplot as plt

import pandas as pd

from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX



# 設(shè)置種子

np.random.seed(42)



# 模擬數(shù)據(jù) SARIMA(1,1,1)(1,1,1,12) 模型

n = 120

seasonal_period = 12

y = np.zeros(n)

epsilon = np.random.normal(0, 1, n)

phi = 0.7

theta = 0.5

Phi = 0.3

Theta = 0.2



# 生成時間序列

for t in range(1, n):

    if t >= seasonal_period:

        y[t] = phi * y[t-1] + theta * epsilon[t-1] + Phi * y[t-seasonal_period] + Theta * epsilon[t-seasonal_period] + epsilon[t]

    else:

        y[t] = phi * y[t-1] + theta * epsilon[t-1] + epsilon[t]



# 創(chuàng)建數(shù)據(jù)框架

df = pd.DataFrame({'Time': np.arange(n), 'Value': y})



# 繪制圖像：原始序列與季節(jié)性分解

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6), dpi=120)



# 原始序列

ax[0].plot(df['Time'], df['Value'], color='orange')

ax[0].set_title('SARIMA(1,1,1)(1,1,1,12) Time Series')

ax[0].set_xlabel('Time')

ax[0].set_ylabel('Value')



# 季節(jié)性分解圖

from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose

result = seasonal_decompose(df['Value'], period=seasonal_period, model='additive')

result.seasonal.plot(ax=ax[1], color='blue')

ax[1].set_title('Seasonal Component of SARIMA Series')

ax[1].set_xlabel('Time')



plt.tight_layout()

plt.show()

原始序列圖：展示 SARIMA 模型生成的時間序列，包含季節(jié)性成分和隨機波動。

季節(jié)性分解圖：分離季節(jié)性成分，顯示時間序列中的周期性變化，幫助識別季節(jié)性波動。

原始序列圖：展示 SARIMA 模型中的季節(jié)性時間序列，反映其周期性變化。
季節(jié)性分解圖：用于分離季節(jié)性成分，驗證模型是否能夠捕捉到周期性波動。

6. 指數(shù)平滑模型

原理介紹

指數(shù)平滑模型 (ETS, Exponential Smoothing Model)是一類用于時間序列預(yù)測的模型，其基本思想是給不同時間點的觀測值賦予不同的權(quán)重，越接近當(dāng)前時間點的數(shù)據(jù)，權(quán)重越大。這種加權(quán)方式可以很好地平滑時間序列中的短期波動。ETS 模型可以處理趨勢和季節(jié)性成分。

核心公式

簡單指數(shù)平滑 (Simple Exponential Smoothing)?的公式為：

推導(dǎo)：ETS 模型通過平滑操作分別計算時間序列的長期趨勢、短期波動和季節(jié)性影響。通過設(shè)定不同的平滑系數(shù)來調(diào)整對各個成分的權(quán)重。

優(yōu)缺點和適用場景

優(yōu)點：

適合短期預(yù)測，特別是對季節(jié)性和趨勢進行建模。
可以靈活處理不同的趨勢和季節(jié)性。

缺點：

長期預(yù)測效果差，無法很好處理復(fù)雜的非線性數(shù)據(jù)。

適用場景：適合平穩(wěn)數(shù)據(jù)以及含有周期性和趨勢成分的時間序列，如銷量預(yù)測、溫度變化等。

代表案例

我們生成一個帶有季節(jié)性和趨勢的時間序列，并使用 ETS 模型進行預(yù)測。

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import pandas as pd

from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing



# 設(shè)置種子

np.random.seed(42)



# 生成帶有趨勢和季節(jié)性的時間序列數(shù)據(jù)

n = 150

time = np.arange(n)

seasonal_period = 12

trend = 0.05 * time

seasonal = 10 * np.sin(2 * np.pi * time / seasonal_period)

noise = np.random.normal(0, 2, n)

y = 20 + trend + seasonal + noise



# 創(chuàng)建數(shù)據(jù)框架

df = pd.DataFrame({'Time': time, 'Value': y})



# 應(yīng)用ETS模型（加法模型）

model = ExponentialSmoothing(df['Value'], seasonal='add', trend='add', seasonal_periods=seasonal_period)

fit = model.fit()



# 預(yù)測未來的值

forecast = fit.forecast(steps=24)



# 繪制原始數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)

plt.figure(figsize=(12, 6), dpi=120)

plt.plot(df['Time'], df['Value'], label='Original Series', color='blue')

plt.plot(np.arange(n, n + len(forecast)), forecast, label='Forecast', color='orange')

plt.axvline(x=n, color='gray', linestyle='--', label='Prediction Start')

plt.title('ETS Model - Additive Trend and Seasonality')

plt.xlabel('Time')

plt.ylabel('Value')

plt.legend()

plt.show()

時間序列預(yù)測圖：展示原始時間序列以及基于 ETS 模型的預(yù)測結(jié)果，用于展示模型在處理趨勢和季節(jié)性數(shù)據(jù)時的效果。

時間序列預(yù)測圖：展示了原始時間序列的趨勢、季節(jié)性和噪聲，以及 ETS 模型對未來數(shù)據(jù)的預(yù)測效果。該圖顯示了模型對未來時間段的平滑預(yù)測。

7. 長短期記憶網(wǎng)絡(luò)

原理介紹

長短期記憶網(wǎng)絡(luò) (LSTM) 是一種特殊的循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (RNN)，適用于處理序列數(shù)據(jù)中的長期依賴問題。它通過引入記憶單元和門控機制，能夠選擇性地保留或遺忘先前時間點的信息，解決了傳統(tǒng) RNN 中的梯度消失問題。

核心公式

LSTM 的核心組件包括遺忘門、輸入門和輸出門，分別控制如何處理記憶狀態(tài)。

1. 遺忘門：決定哪些信息需要被遺忘。

2. 輸入門：決定哪些信息需要被寫入記憶。

3. 輸出門：決定如何產(chǎn)生當(dāng)前時刻的隱狀態(tài)。

優(yōu)缺點和適用場景

優(yōu)點：

能夠捕捉長期依賴關(guān)系，適合處理復(fù)雜的時間序列。
在處理非線性、噪聲大和多維度數(shù)據(jù)方面表現(xiàn)優(yōu)秀。

缺點：

訓(xùn)練時間較長，計算復(fù)雜度高。
對大量數(shù)據(jù)敏感，容易過擬合。

適用場景：適合處理復(fù)雜的時間序列數(shù)據(jù)，如股票預(yù)測、語音識別、自然語言處理等。

代表案例

使用 PyTorch 實現(xiàn) LSTM 進行時間序列預(yù)測的完整代碼案例。

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import torch

import torch.nn as nn

from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler

from torch.autograd import Variable



# 設(shè)置隨機種子以確保可復(fù)現(xiàn)性

np.random.seed(42)

torch.manual_seed(42)



# 生成正弦波數(shù)據(jù)

def generate_sine_wave(sequence_length, num_samples):

    x = np.linspace(0, 100, num_samples)

    y = np.sin(x)

    return y



# 參數(shù)

sequence_length = 50  # 序列長度

num_samples = 1000    # 樣本數(shù)量



# 生成數(shù)據(jù)

data = generate_sine_wave(sequence_length, num_samples)



# 可視化數(shù)據(jù)

plt.plot(data)

plt.title("Sine Wave")

plt.show()



# 數(shù)據(jù)歸一化

scaler = MinMaxScaler(feature_range=(0, 1))

data_scaled = scaler.fit_transform(data.reshape(-1, 1))



# 創(chuàng)建時間序列數(shù)據(jù)集

def create_dataset(data, sequence_length):

    X, y = [], []

    for i in range(len(data) - sequence_length):

        X.append(data[i:i + sequence_length, 0])

        y.append(data[i + sequence_length, 0])

    return np.array(X), np.array(y)



# 創(chuàng)建輸入輸出數(shù)據(jù)

X, y = create_dataset(data_scaled, sequence_length)



# 轉(zhuǎn)換為 PyTorch 張量

X = torch.from_numpy(X).float().unsqueeze(-1)  # shape: (samples, sequence_length, 1)

y = torch.from_numpy(y).float()  # shape: (samples,)



class LSTMModel(nn.Module):

    def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size, num_layers=1):

        super(LSTMModel, self).__init__()

        self.hidden_size = hidden_size

        self.num_layers = num_layers



        # 定義 LSTM 層

        self.lstm = nn.LSTM(input_size, hidden_size, num_layers, batch_first=True)



        # 定義全連接層

        self.fc = nn.Linear(hidden_size, output_size)



    def forward(self, x):

        # 初始化隱狀態(tài)和細胞狀態(tài)

        h0 = torch.zeros(self.num_layers, x.size(0), self.hidden_size)

        c0 = torch.zeros(self.num_layers, x.size(0), self.hidden_size)



        # 前向傳播 LSTM 層

        out, _ = self.lstm(x, (h0, c0))



        # 取最后一個時間步的輸出

        out = out[:, -1, :]



        # 全連接層輸出

        out = self.fc(out)

        return out



# 定義模型參數(shù)

input_size = 1  # 輸入特征數(shù)

hidden_size = 50  # LSTM 隱藏層單元數(shù)

output_size = 1  # 輸出特征數(shù)

num_layers = 1  # LSTM 層數(shù)



# 初始化模型

model = LSTMModel(input_size, hidden_size, output_size, num_layers)



# 打印模型結(jié)構(gòu)

print(model)



# 定義損失函數(shù)和優(yōu)化器

criterion = nn.MSELoss()  # 使用均方誤差作為損失函數(shù)

optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.01)



# 劃分訓(xùn)練集和測試集

train_size = int(len(X) * 0.8)

test_size = len(X) - train_size



X_train, X_test = X[:train_size], X[train_size:]

y_train, y_test = y[:train_size], y[train_size:]



# 訓(xùn)練模型

num_epochs = 100

for epoch in range(num_epochs):

    model.train()



    # 前向傳播

    outputs = model(X_train)

    loss = criterion(outputs, y_train)



    # 反向傳播和優(yōu)化

    optimizer.zero_grad()

    loss.backward()

    optimizer.step()



    # 打印損失

    if (epoch + 1) % 10 == 0:

        print(f'Epoch [{epoch + 1}/{num_epochs}], Loss: {loss.item():.4f}')



# 進行預(yù)測

model.eval()  # 設(shè)置為評估模式

with torch.no_grad():

    predicted = model(X_test)

    predicted = predicted.detach().numpy()



# 反歸一化預(yù)測值

predicted = scaler.inverse_transform(predicted)



# 反歸一化真實值

y_test = y_test.detach().numpy()

y_test = scaler.inverse_transform(y_test.reshape(-1, 1))



# 可視化結(jié)果

plt.plot(y_test, label='True Value')

plt.plot(predicted, label='Predicted Value')

plt.title('LSTM Time Series Prediction')

plt.legend()

plt.show()

使用了 PyTorch 來構(gòu)建 LSTM 模型，用于處理時間序列預(yù)測問題。

模型包含一個 LSTM 層和一個全連接層，通過 Adam 優(yōu)化器進行訓(xùn)練。

8. Prophet 模型

原理介紹

Prophet 是由 Facebook 開發(fā)的一種時間序列預(yù)測模型，基于加性模型，將趨勢、季節(jié)性和假期影響分解為不同的成分，能夠處理非線性時間序列。

核心公式

ophet 的基本公式為：

使用簡單的正弦波時間序列作為數(shù)據(jù)示例，訓(xùn)練后的模型能夠預(yù)測未來的值。

Prophet 將趨勢項建模為線性或非線性，季節(jié)性使用傅里葉級數(shù)表示，假期使用顯式的日期列表。

優(yōu)缺點和適用場景

優(yōu)點：

易于調(diào)參，適合有明確周期性和節(jié)假日影響的時間序列。
可解釋性強，易于使用。

缺點：

對于無明顯季節(jié)性或趨勢的時間序列效果較差。

適用場景：適合社交媒體分析、銷量預(yù)測、網(wǎng)站流量預(yù)測等周期性數(shù)據(jù)。

代表案例

我們使用 prophet 模型對帶有周期性的虛擬數(shù)據(jù)進行預(yù)測。

import numpy as np

import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt

from prophet import Prophet



# 生成帶有趨勢和季節(jié)性的時間序列數(shù)據(jù)

np.random.seed(42)

n = 200

time = pd.date_range(start='2022-01-01', periods=n, freq='D')

trend = np.linspace(0, 10, n)

seasonal = 5 * np.sin(2 * np.pi * np.arange(n) / 30)

noise = np.random.normal(0, 0.5, n)

y = 20 + trend + seasonal + noise



# 創(chuàng)建數(shù)據(jù)框架

df = pd.DataFrame({'ds': time, 'y': y})



# Prophet 模型

model = Prophet(yearly_seasonality=False, daily_seasonality=True)

model.fit(df)



# 預(yù)測未來30天

future = model.make_future_dataframe(periods=30)

forecast = model.predict(future)



# 繪制預(yù)測結(jié)果

model.plot(forecast)

plt.title('Prophet Time Series Prediction')

plt.show()

Prophet 預(yù)測圖：展示 Prophet 模型對時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)測，包括趨勢和季節(jié)性成分的分解。

Prophet 預(yù)測圖：展示 Prophet 模型對未來數(shù)據(jù)的預(yù)測，以及趨勢和季節(jié)性成分的分解，反映了該模型在處理帶有季節(jié)性和假期影響的時間序列中的優(yōu)勢。

9. 貝葉斯結(jié)構(gòu)時間序列模型

原理介紹

貝葉斯結(jié)構(gòu)時間序列模型基于貝葉斯方法，能夠結(jié)合不同的成分（趨勢、季節(jié)性等）對時間序列進行分解。它在處理非線性時間序列和捕捉不確定性方面有獨特優(yōu)勢。

核心公式

TS 模型的基本公式為：

通過貝葉斯推斷，BSTS 能夠?qū)Σ煌某煞诌M行不確定性估計。

優(yōu)缺點和適用場景

優(yōu)點：

能捕捉不確定性，并對時間序列進行靈活的分解。
易于解釋，適合多種不同類型的時間序列。

缺點：

對于大型數(shù)據(jù)集，計算開銷較大。

適用場景：適合金融市場、銷售數(shù)據(jù)、網(wǎng)絡(luò)流量等具有復(fù)雜特性的時間序列。

代表案例

import numpy as np

import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt

from bsts import BSTS



# 生成虛擬數(shù)據(jù)

np.random.seed(42)

n = 100

time = np.arange(n)

trend = 0.1 * time

noise = np.random.normal(0, 1, n)

y = trend + noise



# BSTS 模型構(gòu)建與擬合

model = BSTS()

model.fit(y)



# 預(yù)測未來值

predicted = model.predict(steps=10)



# 繪制預(yù)測結(jié)果

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(time, y, label='Original Series')

plt.plot(np.arange(n, n+10), predicted, label='BSTS Prediction', color='orange')

plt.legend()

plt.title('BSTS Time Series Prediction')

plt.show()

時間序列預(yù)測圖：展示了 BSTS 模型對未來時間序列的預(yù)測，結(jié)合了趨勢和噪聲成分，顯示其在不確定性建模中的優(yōu)勢。

10. 卡爾曼濾波

原理介紹

卡爾曼濾波是一種遞歸濾波算法，廣泛用于動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)估計，能夠處理噪聲干擾。它通過貝葉斯推斷動態(tài)調(diào)整對當(dāng)前狀態(tài)的估計，適合平滑和預(yù)測時間序列。

核心公式

曼濾波的更新公式為：

預(yù)測：

優(yōu)缺點和適用場景

優(yōu)點：

適合實時更新和噪聲抑制。
對動態(tài)系統(tǒng)建模效果良好。

缺點：

對于非線性系統(tǒng)的處理能力有限。

適用場景：適用于實時狀態(tài)估計和動態(tài)系統(tǒng)建模，如導(dǎo)航系統(tǒng)、金融市場等。

代表案例

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from pykalman import KalmanFilter



# 生成時間序列數(shù)據(jù)

n = 100

time = np.arange(n)

signal = np.sin(0.1 * time)

noise = np.random.normal(0, 0.1, n)

y = signal + noise



# 卡爾曼濾波

kf = KalmanFilter(initial_state_mean=0, n_dim_obs=1)

state_means, _ = kf.smooth(y)



# 繪制原始數(shù)據(jù)和卡爾曼濾波結(jié)果

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(time, y, label='Noisy Signal')

plt.plot(time, state_means, label='Kalman Filtered', color='red')

plt.legend()

plt.title('Kalman Filter - Time Series Smoothing')

plt.show()

時間序列平滑圖：展示原始噪聲數(shù)據(jù)和經(jīng)過卡爾曼濾波后的平滑結(jié)果。

時間序列平滑圖：展示了卡爾曼濾波在處理帶噪聲的時間序列中的平滑效果，顯示其在動態(tài)系統(tǒng)建模中的優(yōu)越性。

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2. 移動平均模型
3. 自回歸移動平均模型
4. 自回歸積分移動平均模型
5. 季節(jié)性自回歸積分移動平均模型 (SARIMA, Seasonal ARIMA)
6. 指數(shù)平滑模型
7. 長短期記憶網(wǎng)絡(luò)
8. Prophet 模型
9. 貝葉斯結(jié)構(gòu)時間序列模型
10. 卡爾曼濾波

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